Som 15-årig skolgrabb slog han igenom i Upsala Gymnasisters Hockeyklubb år 1901. 1902 vann hans klubb tävlingen om Nordiska Spelens vandringspris. Sune var den tongivande spelaren när Stockholms Hockeyklubb besegrades i finalen med 2-0. 1905 blev det seger i Nordiska Spelen, nu i Upsala Hockeyklub (f d Gymnasisterna), På sin 19-årsdag gjorde Sune 19 mål mot Krigsskolan när Uppsalalaget vann med 27-1! Sammanlagt målskillnad för Upsala HK i tävlingen var fantastiska 70-3 på fyra matcher! Med Sune Almkvist som den store målskytten.

1907 gick Upsala HK upp i IFK Uppsala och där fortsatte Sune sin fantastiska karriär. Han vann hela 11 SM med sin klubb 1907-1920. Fler SM-tecken har ingen annan spelare vunnit. Han spelade landskamperna mot Finland, 1920 och 21. Med sitt IFK Uppsala vann Sune också fyra DM för Stockholm (1907-12).

Sune Almkvist var den självskrivne lagkaptenen i båda klubb- och landslaget (landskamper började spelas först 1919). Han spelade center och var både speluppläggare och målskytt. Sune hade ett hett temperament och läxade upp den spelare som inte följde hans direktiv. Ibland kunde ”syndaren” åka på en örfil! Backen Louis ”Lollan” Woodzack (9 SM) gjorde i en match en elegant uppåkning och avslutade med att göra mål. Men det gillades inte alls av Sune, som i stället skällde ut sin lagkompis: ”Gör inte om det där. I det här laget är det kedjespelarna som gör mål!” Sune Almkvist var en envåldshärskare och han hade stora krav på sina medspelare. Han var inte populär i alla läger, men hans stora bandykunnande väckte beundran.

När Svenska Bandyförbundet bildads 1925 blev Sune den självskrivne ordföranden. Han innehade den posten i 25 år, till 1950. Han skrev också flera böcker om bandy eller ”bändi”, som Sune alltid kallade sporten. Han föredrog det engelska uttalet. Sune var också en dukig fotbollspelare och spelade 4 landskamper 1908, han var en framstående tennisspelare, vann Kungens Kanna 1918 och blev svensk mästare i dubbel inomhus 1918  och 1919. Han spelade också en landskamp i ishockey 1921. Civilt arbetade Sune Almkvist som läkare och kallades allmänt för ”bandydoktorn”.